Número natural(N)
Un número natural es cualquiera
de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese
nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para la
enumeración.
¿Que son los
Números Naturales?
Número
natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un
cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números
naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2,
3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a
veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de
cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para
ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero),
2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números
naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que
las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden
realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los
números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación.
Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también
un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
Propiedades de la adicion de Numeros Naturales
La adición de
números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento
neutro.
1.-
Asociativa:
Si a, b, c son
números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c =
a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 =
11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) =
7 + 9 = 16
Los resultados
coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 =
7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son
números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular,
para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las
propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas
sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el
orden.
3.- Elemento
neutro
El 0 es el
elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número
natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades de
la Multiplicacion de Numeros Naturales
La
multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa,
conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son
números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c =
a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 =
15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) =
3 · 10 = 30
Los resultados
coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 =
3 · (5 · 2)
2.-
Conmutativa
Si a, b son
números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5
= 40
3.-Elemento
neutro
El 1 es el
elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número
natural a, se cumple que:
a · 1 = a
4.-
Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son
números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) =
a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) =
5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8
= 15 + 40 = 55
Los resultados
coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) =
5 · 3 + 5 · 8
Propiedades de
la Sustraccion de Numeros Naturales
Igual que la
suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6
ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de
hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese
contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría
volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos
de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las
ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de
la resta:
La resta no
tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
Propiedades de
la Division de Numeros Naturales
La división es
la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un
número de personas.
Los términos
de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de
personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo
que sobra).
Si el resto es
cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de
la división
La división no
tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
Historia
Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser
humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los
símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o
simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde
aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de
señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí
el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más
tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban
simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de
las letras, se utilizaron algunos símbolos.
Convenios de
notación
Puesto que los números naturales
se utilizan para contar objetos, el cero puede
considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo
del autor, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de
dos maneras distintas:
|
§ Definición sin el cero:
§ Definición con el cero:
|
Ambas presentaciones son utilizadas en distintas
áreas de las matemáticas. Históricamente, el uso del cero como
numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la invasión
musulmana de la Península Ibérica,[1] pero no se consideraba un número natural.[2]
Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones
conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha
disciplina,[3]y
otras, como la teoría de
la computación.[4] En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.[4] Sin embargo, en la actualidad ambos convenios
conviven.
Definición en teoría de conjuntos
En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números
naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda
contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de
objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto
que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera
el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
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