Polinomio
En matemáticas, un polinomio (del griego, «poli»-muchos y «νόμος»- división, y el latín «binomius»)1 2 3 es una expresiónconstituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o
desconocidas) y constantes (números fijos llamadoscoeficientes),
utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y
multiplicación, así como exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.
Es frecuente el término polinomial, como adjetivo, para
designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro,
como por ejemplo en tiempo polinomial.
Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden
sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes.
Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada
uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios
semejantes.
Ejemplo
Sean los polinomios:
y
, entonces el
producto es:
Para poder realizar
eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a
menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la
siguiente:
Productos notables
Productos
notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar
la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y
sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto
notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo,
la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos
binomios conjugados y recíprocamente.
Factorización
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo,
un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos
más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los
números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por
ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.
Factorizar un polinomio
Antes que todo, hay que
decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran losnúmeros complejos . Existen métodos de
factorización, para algunos casos especiales.
§ Binomios
1.
Diferencia de
cuadrados
2.
Suma o diferencia
de cubos
3.
Suma o diferencia
de potencias impares iguales
§ Trinomios
1.
Trinomio cuadrado
perfecto
2.
Trinomio de la
forma x²+bx+c
3.
Trinomio de la
forma ax²+bx+c
§ Polinomios
SIMPLIFICACIÓN
DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para simplificar una
fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores
comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.
Por ejemplo:
Simplificar
Donde hemos dividido
numerador y denominador entre 3,
,
Para poder simplificar una
fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo
están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.
Por ejemplo:
Simplificar
Como vemos el denominador es
un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que
factorizarlo.
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